** En lien avec la SVT

La vasopressine est une hormone favorisant la réabsorption de l'eau par l'organisme.
Cette hormone est sécrétée dès que le volume sanguin diminue. En particulier, il y a production de vasopressine suite à une hémorragie.
Le taux de vasopressine dans le sang est considéré normal s'il est inférieur à \(2{,}5\)   \(\mu \text{g/mL}\) .

On utilisera  dans cet exercice  la modélisation suivante.
Pour tout réel  \(t\) positif ou nul, \(f(t) = 3t\text{e}^{-\frac{1}{4}t} +2\)  où  \(f(t)\) représente le taux de vasopressine (en   \(\mu \text{g/mL}\) ) dans le sang en fonction du temps  \(t\) (en minutes) écoulé depuis le début d'une hémorragie.

1. a. Quel est le taux de vasopressine dans le sang à l'instant  \(t=0\) ?
    b. Justifier que, douze secondes après une hémorragie, le taux de vasopressine dans le sang n'est pas normal.
    c. Déterminer la limite de la fonction  \(f\) en \(+\infty\) . Interpréter ce résultat.

2. Vérifier que, pour tout nombre réel  \(t\) positif, \(f'(t) = \dfrac{3}{4}(4 - t)\text{e}^{-\frac{1}{4}t}\) .

3. a. Étudier le sens de variations de  \(f\) sur l'intervalle  \([0\ ;+\infty[\) et dresser le tableau complet des variations de la fonction.
    b. À quel instant le taux de vasopressine est-il maximal ? Quel est alors ce taux ? On en donnera une valeur approchée à  \(10^{-2}\) près.

4. a. Démontrer qu'il existe une unique valeur \(t_0\) appartenant à \([0~;~4]\) telle que \(f\left(t_0\right) = 2{,}5\) .
    b. Donner une valeur approchée de  \(t_0\) à \(10^{-2}\) près.
On admet qu'il existe une unique valeur  \(t_1\) appartenant à \([4~;+\infty[\) telle que \(f\left(t_1\right) = 2{,}5\) .
On donne une valeur approchée de \(t_1\)  à \(10^{-2}\) près : \(t_1 \approx 18{,}93\) .

5. Déterminer pendant combien de temps, chez une personne victime d'une hémorragie, le taux de vasopressine reste supérieur à \(2{,}5\)   \(\mu \text{g/mL}\) dans le sang.