** En lien avec la SVT

La vasopressine est une hormone favorisant la réabsorption de l'eau par l'organisme.
Cette hormone est sécrétée dès que le volume sanguin diminue. En particulier, il y a production de vasopressine suite à une hémorragie.
Le taux de vasopressine dans le sang est considéré normal s'il est inférieur à $2,5$   $\mu \text{g/mL}$ .

On utilisera  dans cet exercice  la modélisation suivante.
Pour tout réel  $t$ positif ou nul, $f(t)=3t{\text{e}}^{-\frac{1}{4}t}+2$  où  $f(t)$ représente le taux de vasopressine (en   $\mu \text{g/mL}$ ) dans le sang en fonction du temps  $t$ (en minutes) écoulé depuis le début d'une hémorragie.

1. a. Quel est le taux de vasopressine dans le sang à l'instant  $t=0$ ?
    b. Justifier que, douze secondes après une hémorragie, le taux de vasopressine dans le sang n'est pas normal.
    c. Déterminer la limite de la fonction  $f$ en $+\mathrm{\infty }$ . Interpréter ce résultat.

2. Vérifier que, pour tout nombre réel  $t$ positif, $f^{\prime }(t)={\displaystyle \frac{3}{4}}(4-t){\text{e}}^{-\frac{1}{4}t}$ .

3. a. Étudier le sens de variations de  $f$ sur l'intervalle  $[0;+\mathrm{\infty }[$ et dresser le tableau complet des variations de la fonction.
    b. À quel instant le taux de vasopressine est-il maximal ? Quel est alors ce taux ? On en donnera une valeur approchée à  ${10}^{-2}$ près.

4. a. Démontrer qu'il existe une unique valeur $t_0$ appartenant à $[0;4]$ telle que $f\left(t_0\right)=2,5$ .
    b. Donner une valeur approchée de  $t_0$ à ${10}^{-2}$ près.
On admet qu'il existe une unique valeur  $t_1$ appartenant à $[4;+\mathrm{\infty }[$ telle que $f\left(t_1\right)=2,5$ .
On donne une valeur approchée de $t_1$  à ${10}^{-2}$ près : $t_1\approx 18,93$ .

5. Déterminer pendant combien de temps, chez une personne victime d'une hémorragie, le taux de vasopressine reste supérieur à $2,5$   $\mu \text{g/mL}$ dans le sang.